Mathemix

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Nachgehakt

„Deutschlands Superhirn“ am 23.06.2016 im ZDF
(letzte Bearbeitung am 06.07.16, Seite noch im Aufbau)

In der Ausgabe der Sendung „Deutschlands Superhirn“ traten 5 Kandidaten mit unglaublichen Gedächtnisleistungen an. Einer der Kandidaten vom 23.06.2016 war der 46-jährige britische Nuklearphysiker Robert Fountain. Der internationale Großmeister im Kopfrechnen behauptete, dass er die 113. Wurzel aus einer 1000-stelligen Zahl ziehen kann.

Die Aufgabe: Der Kandidat bekommt eine 1000-stellige Zahl vorgegeben aus der er die 113. Wurzel ziehen muss. Die ersten 500 Ziffern werden ihm "auditiv" genannt. Die anderen 500 Ziffern werden auf einer LED-Wand eingeblendet. Sobald alle Zahlen genannt wurden dreht sich der Kandidat von der LED-Wand weg und beginnt mit dem Errechnen der 113. Wurzel. Als zusätzliche Erschwernis werden die Zahlen dem Briten, der nach eigeneer Aussage kein Deutsch spricht, in deutscher Sprache genannt. Als zusätzliche "Herausforderung" wird beim Aufsagen der ersten 500 Zahlen die Stimme ab der Mitte "noch schneller".

Der Brite dessen Lieblingsband die deutsche Gruppe Kraftwerk ist (Lieblings-Song "Numbers") hat die 1000-stellige Zahl laut Steven Gätjen vorher nicht gesehen - sie wird erst in der Sendung per Zufallsgenerator erstellt. Dazu werden ihm die zweiten 500 Stellen auf der LED-Wand eingeblendet. Zeitgleich beginnt eine Stimme, ihm auditiv die ersten 500 Zahlen zu nennen. Sobald die letzte Zahl auditiv bekannt ist, dreht er sich weg von der LED-Wand und beginnt mit dem Errechnen der 113. Wurzel aus dieser Zahlenkolonne. Um den Schwierigkeitsgrad für den Engländer zu erhöhen, werden die Zahlen auf Deutsch genannt.

Für die Lösung stand eine LED-Tafel mit 9 Ziffern zur Verfügung. Dass nur eine 9-stellige Zahl als Lösung in Frage kommt läßt sich mathematisch beweisen (näheres weiter unten) - es handelt sich also nicht um eine zusätzliche Vorgabe oder gar Erleichterung.

Als Ergebnis „errechnete“ Robert Fountain die Zahl 706078267 was sich als richtige Lösung herausstellte. Die 1000-stellige Zahl lautet:

Wie schwer ist die Aufgabe wirklich?

Das man ohne „mathematische Tricks“ eine derartige Aufgabe tatsächlich lösen kann scheint ziemlich unwahrscheinlich. Laut ZDF-Kommentar ist der Brite in der Lage mit riesigen Zahlen zu rechnen - bis zu 1000 Stellen". Das würde einerseits bedeuten dass Robert Fountiain auch mit anderen Zahlen (z. B. die 109. Wurzel aus einer 997-stelligen Zahl) rechnen könnte und andererseits dass es tatsächlich um das ausrechnen geht und nicht um Auswendiglernen.

Was auffällt ist daß die Zahl 113 vorgegeben ist. Die Aufgabe könnte beispielsweise auch lauten, dass eine beliebige Wurzel gezogen werden muss - eventuell mit einem vorgegebenen Zahlenbereich, z. B. 50 bis 120. Sollte es sich tatsächlich um eine rein mathematische Fähigkeit handeln dürfte dies keine zusätzliche Schwierigkeit darstellen. Auch die Anzahl der Stellen - eine 1000-stellige Zahl - ist vorgegeben.

Die Festlegung auf die 113. Wurzel läßt vermuten dass entweder das Ergebnis der Aufgabe (der gezogenen 113. Wurzel aus der 1000-stelligen Zahl) in irgendeiner Weise in der 1000-stelligen Zahl codiert ist oder (bzw. und) dass es vielleicht eine nur sehr kleine Anzahl von Möglichkeiten bei einer genau 1000-stelligen Zahl gibt.

Die zusätzliche Herausforderung, dass beim Aufsagen der ersten. 500 Zahlen die Stimme ab der Mitte noch schneller wird, ist nur relevant, wenn diese für die Lösung notwendig sind.

Über eine Codierung des Ergebnisses innerhalb der 1000-stelligen Zahl beim Ziehen der 113. Wurzel ist mir nichts bekannt. Eventuell würde aber die Betrachtung aller in Frage kommenden 1000-stelligen Zahlen eine derartige Codierung erkennen lassen.

Zeit

Darüber, wieviel Zeit Robert Fountain für das Errechnen der 113. Wurzel zur Verfügung steht wurden keine eindeutigen Angaben gemacht. Kurz nachdem ihm die letzte Ziffer der ersten 500 Ziffern genannt wurde präsentierte der Brite die Lösung der Aufgabe. Entscheidend dafür, wieviel Zeit ihm für die Berechnung zur Verfügung steht ist wohl die Frage, welche Ziffern überhaupt für die Lösung de Aufgabe relevant sind.

Die erste Hälfte der 1000stelligen Zahl erscheint beim Sendungs-Video der ZDF-Mediathek bei 58:30 Minuten. Bei "59:05" - also 35 Sekunden später - beginnt das Aufsagen der ersten 500 Zahlen. Die Durchsage der 500 Zahlen dauert bis "01:01:04" und der Kandidat präsentiert die Lösung bei "01:01:22". Von der Einblendung der zweiten Hälfte der 1000-stelligen Zahl und der Bekanntgabe der Lösung vergehen also ca. 02:52 Minuten.

Interessant ist allerdings eine weitere Zeit: Seit wann kennt der Kandidat die ihm gestellte Aufgabe. Bereits im Einspieler zur Vorstellung des Kandidaten heißt es: "Die Aufgabe, die ich versuchen werde zu lösen, besteht darin die 133. Wurzel aus 1000stelliger Zahl zu ziehen". Robert Fountain hatte also wahrscheinlich mehrere Tage, Wochen oder sogar Monate Zeit, sich auf die Aufgabe vorzubereiten. Möglicherweise wurde die Aufgabe auch von Ihm ausgewählt.

Grundlagen

Die 113. Wurzel aus einer 1000-stelligen Zahl zu ziehen bedeutet, herauszufinden welche Zahl 112 mal mit sich selbst multipliziert (= hoch 113) die 1000-stellige Zahl ergibt. Nennen wir die gesuchte Zahl x und die 1000stellige Zahl y1000 lautet die Formel:
Die 113. Wurzel von y1000 = x (normalerweise würde man hier das Wurzelzeichen nehmen - leider ist es in HTML nicht so einfach die Wurzel mit Wurzelzeichen darzustellen....)
oder als Potenz geschireben:
x hoch 113 = y1000.
Dabei wird x die Basis (oder Grundzahl) genannt. 113 ist der Exponent (oder Hochzahl). Das Ergebnis y1000 ist der Wert der Potenz.

Tricks der Rechenkünstler

Es gibt verschiedene Tricks die Rechenkünstler beim Wurzelziehen anwenden.

Das folgende Beispiel wurde dem Online-Lexikon wikipedia.de entnommen. So ist es beispielsweise möglich eine Wurzel auch Abschätzung und Anwendung elementarer Zahlentheorie zu berechnen - vorausgesetzt es handelt sich bei der Wurzel um eine natürliche Zahl. Wie das funktioniert zeigt das folgende Beispiel zum Bestimmen der Kubikwurzel:

Grundlage ist die folgende Tabelle der Kubikzahlen (= hoch 3) der ersten zehn Zahlen sowie des zehnfachen dieser ersten zehn Zahlen:

Basis Wert   Basis Wert
1 1   10 1.000
2 8   20 8.000
3 27   30 27.000
4 64   40 64.000
5 125   50 125.000
6 216   60 216.000
7 343   70 343.000
8 512   80 512.000
9 729   90 729.000
10 1000   100 1.000.000

Beispiel 1. Um beispielsweise die dritte Wurzel von 103.823 zu berechnen wird zunächst geprüft im welchen Bereich sich die Zahl befindet. Die Zahl 103.823 liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, die dritte Wurzel von 103.823 ist demnach abgeschätzt 47.

Beispiel 2: Die dritte Wurzel von 12.167:
Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb ist die Zehnerstelle der dritten Wurzel eine 2. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.

Große Zahlen

Für Berechnungen mit derart großen Zahlen scheinen Computer wie geschaffen zu sein. Umso erstaunlicher ist es dass die meisten Programmiersprachen mit derart großen Zahlen nicht ohne weiteres umgehen können. Auch Javascript, die am häufigsten verwendete Programmiersprache für Webanwendungen, kann beispielsweise bei Ganzzahlen nur mit 15 Stellen genau rechnen. Das bedeutet dass Berechnungen mit größeren Zahlen zu ungenauen (= falschen) Ergebnissen führen können.

Um mit Hilfe des Rechners die Aufgabe der 133. Wurzel einer 1000-stelligen Zahl zu analysieren zu können reichen diese 15 Stellen natürlich nicht aus. Daher habe ich eine kleines Script geschrieben mit dem man zumindestens die Grundrechenarten mit großen Zahlen durchführen kann. Zum Rechnen mit großen Zahlen ist später eine eigene Seite auf mathemix.de geplant.

Anzahl Ziffern der Lösung

Wie oben bereits angedeutet besteht die Löunng aus einer 9stelligen Zahl. Wieviel Stellen die Wurzel aus einem gegebenen Wert haben muss läßt sich einfach bestimmen.

Mindestanzahl Stellen

Will man herausfinden wieviel Stellen der Wert einer 3-stelligen Zahl hoch 3 mindestens haben muss nimmt man die kleinste 3-stellige Zahl 100 hoch 3. Als Ergebnis erhält man 1.000.000 (100 x 100 x 100) - die Mindestanzahl beträgt also 7 Stellen. Man erhält den Wert am einfachsten indem man die Anzahl Nullen der Basis (100 = 2 Nullen) mit dem Exponenten (3) multipliziert (2 x 3) und eins dazuaddiert (2 x 3 + 1 = 7)

Bezeichnen wir die Anzahl der Stellen der Basis mit b, den Exponenten mit e und die Mindestanzahl Stellen des Potenz-Wertes mit m dann gilt:
b = 3 (3-stellige Zahl)
e = 3 (hoch 3)
m = ((b-1) * e) + 1

Die kleinse 4-stellige Zahl hoch 5 errechnet sich nach dieser Formel folgendermaßen: (4-1) * 5 + 1 = 3 * 5 + 1 = 16.
Test: 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 = 1.000.000.000.000.000 (= 16 Stellen)

Maximal mögliche Anzahl Stellen

Um herauszufinden wieviel Stellen der Wert einer 3-stelligen Zahl hoch 3 höchstens haben kann nimmt man die kleinste 4-stellige Zahl 1000 hoch 3. Das Ergebnis lautet 1.000.000.000 und hat 10 Stellen. Die höchste 3-stellige Zahl hoch 3 muss lögischerweise kleiner sein und kann daher höchstens 9-stellig sein.

Bezeichnen wir die Anzahl der Stellen der Basis mit b, den Exponenten mit e und die Maximalanzahl Stellen des Potenz-Wertes mit m dann gilt:
b = 3 (3-stellige Zahl)
e = 3 (hoch 3)
m = ((b+1-1) * e) + 1 - 1
oder gekürzt:
m = b * e

Die größte 4-stellige Zahl hoch 5 errechnet sich nach dieser Formel folgendermaßen: 4 * 5 = 20.
Test: 10000 x 10000 x 10000 x 10000 x 10000 = 100.000.000.000.000.000.000 = 21 Stellen -> minus 1 = 20 Stellen

Maximalanzahl Stellen

Die nach obiger Formel errechnete maximal mögliche Anzahl Stellen für den Wert muss jedoch nicht unbedingt mit der tatsächlichen Maximalanzahl Stellen identisch sein. Beispielsweise beträgt nach obiger Formel für eine einstellige Zahl hoch 21 die maximal mögliche Anzahl Stellen für den Wert 21. Für eine einstellige Zahl hoch 22 sind es Anzahl 22 Stellen.
Berechnen wir den Wert der höchsten einstelligen Zahl 9 hch 21 ergibt dies 109.418.989.131.512.359.209 - also 21 Stellen. Für 9 hoch 22 erhält man als Ergebnis 984.770.902.183.611.232.881 - als ebenfalls 21 Stellen und damit eine Stelle weniger als die nach obiger Formel errrechnete maximal mögliche Stellenanzahl. Das bedeutet dass es keine 22-stellige Zahl gibt aus der wir die 22. Wurzel ziehen können wenn wir ein ganzzahliges Ergebnis erhalten wolllen!

Um die tatsächliche Maximalanzahl Stellen herauszufinden muss man den Potenzwert mit der höchsten in Frage kommende Basis errechnen.
Um herauszufinden wieviel Stellen der Wert einer 3-stelligen Zahl hoch 3 höchstens hat nimmt man die größte 3-stellige Zahl 999 hoch 3. Das Ergebnis lautet 997.002.999 und hat in diesem Fall 9 Stellen.

Stellenanzahl der x-ten Wurzel aus gegebenen Potenzwert.

Um die Stellenanzahl aus einem gegebenen Potenzwert zu erhalten braucht man die Anzahl Stellen des Potenz-Wertes lediglich durch den Exponenten zu teilen und das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl zu runden.

Für einen 5-stelligen Exponenten (hoch 5) ergeben sich folgende Werte:

Anzahl Stellen des Potenzwertes geteilt durch 5 Anzahl Stellen
der Basis
14 2,8 3
15 3 3
16 3,2 4
17 3,4 4
18 3,6 4
19 3,8 4
20 4 4
21 4,2 5

Dies stimmt mit den vorigen Berechnungen, nachdem die kleinste 4-stellige Zahl hoch 5 eine 16-stellige Zahl ergibt und die größte 4-stellige Zahl eine 20-stellige Zahl.

Stellen-Berechnungen für 113. Wurzel aus 1000-stelliger Zahl

In der Sendung wird quasi vorausgesetzt, das das Ergebnis der Superhirn-Aufgabe eine 9-stellige Zahl ist, da ür das Ergebnis eine LED-Tafel mit Platz für eine 9-stellige Zahl benutzt wird.

Die Anzahl möglicher 9-stelliger Zahlen beträgt 900.000.000 - die Zahlen von 100.000.000 bis 999.999.999. Errechnen läßt sich die Anzahl der möglichen Zahlen mit mehreren Stellen mit folgender Formel, wobei s für die Anzahl Stellen und z für die gesuchte Anzahl Zahlen steht:

z = 9 * 10 ^ (s-1)

Bei einstelligen Zahlen gibt es zusätzlich noch die 0 - also 10 Zahlen.

Damit sind wir bei 900.000.000 Lösungsmöglichkeiten für die 133. Wurzel einer 1000-stelligen Zahl.

Teilen wir 1000 durch 113 erhalten wir als Ergebnis 8,84955752212, was aufgerundet 9 ergibt.

Benutzen wir die oben angegebenen Formeln um zu errechnen wieviel Stellen das Ergebnis einer 9-stelligen Zahl hoch 113 haben kann ergeben sich folgende Werte:
Mindestanzahl Stellen = ((9 - 1) * 113) + 1 = (8 * 113) + 1 = 905.
Maximal mögliche Anzahl Stellen = 9 * 113 = 1017.
Maximalanzahl Stellen = Anzahl Stellen von (999.999.999 ^ 113) = 1017.

In diesem Fall ist die errechnete Anzahl der maximal möglichen Stellen identisch mit der tatsächlichen Maximalanzahl Stellen.

Die möglichen 900.000.000 Zahlen (100.000.000 bis 999.999.999) verteilen sich also auf 905 bis 1017 stellige Potenzwerte - also auf 112 verschiedene "Zahlenbereiche". Würden sich die möglcihen Basiswerte gleichmäßig auf die 112 Zahlenbereich verteilen würden sich für die 1000-stellige Zahl 8035714 Möglichkeiten ergeben (900.000.000 durch 112).

Damit sind wir bei ungefähr 8.035.714 Lösungsmöglichkeiten für die 133. Wurtel einer 1000-stelligen Zahl.

Die Anzahl der Lösungsmöglichkeiten ist nur ungefähr möglich, da die Verteilung auf die einzelnen Zahlenbereiche nicht gleichmäßig erfolgt. Die kann man schon bei der oben unter "Tricks der Rechenkünstler" abgebildeten Tabelle sehen: Für einstellige Zahlen hoch 3 gibt es 2 einstellige, 2 zweistellige und 5 dreistellige Ergebnisse.

Suchen von Auffälligkeiten

Zunächst soll geprüft werden ob bei der Berechnung der 113. Potenz Auffälligkeiten beim Ergebnis vorhanden sind. Dazu werden die ersten 100 Zahlen als Basis benutzt: Als Ergebnis erhält man folgende Werte:

Auffällig ist dass die letzte Ziffer des Ergebnisses immer identisch mit der letzten Ziffer der Basis ist. Es läßt sich einfach nachweisen, dass es sich hierbei nicht um Zufall handelt und die Regel auch für alle weiteren Basis-Werte gelten.

Werden 2 Zahlen multipliziert ergibt sich die letzte Ziffer des Ergebnisses immer aus der Multiplikation der beiden letzten Ziffern der Zahlen, und zwar unabhängig von der Größe der beiden Zahlen. Dies wird schnell deutlich wenn man sich die schriftliche Multiplikation anschaut:

123 * 456
---------
      738
     615
    492
---------
    56088

Die letzte Ziffer ist eine 8 und ist die letzte Ziffer der Teilrechnung 6 * 3. Alle anderen Teilrechnungen bei der Multiplikation ändern an der letzten Ziffer des Ergebnisses nichts mehr. In der folgenden Tabelle sind die ersten 10 Potenzen der 10 Ziffern abgebildet:

Ziffer
^1
^2
^3
^4
^5
^6
^7
^8
^9
^10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
3
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
4
4
16
64
256
1024
4096
16384
65536
262144
1048576
5
5
25
125
625
3125
15625
78125
390625
1953125
9765625
6
6
36
216
1296
7776
46656
279936
1679616
10077696
60466176
7
7
49
343
2401
16807
117649
823543
5764801
40353607
282475249
8
8
64
512
4096
32768
262144
2097152
16777216
134217728
1073741824
9
9
81
729
6561
59049
531441
4782969
43046721
387420489
3486784401

 

Anzahl der möglichen „Ausgangszahlen“

...

Links

Die ganze Sendung bei Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=A9pOKytSnHk