| Neue Betaversion des WYSIWYG-Webeditors "WebAdditor" veröffentlicht. WebAdditor unterstützt Vorlagen und ermöglicht einfache Datenbank-Anwendungen. Die Lite-Version kann unter www.webadditor.de ab sofort heruntergeladen werden. WebAdditor-Lite enthält zusätzlich 90-Tage-Demos der Standard- und Pro-Versionen. |
Das Ziegenproblem in den Medien
(Seite im Aufbau, letzte Bearbeitung am 21.08.16)
Verwendete Begründungs-Ansätze und -Strategien zur 2/3-Lösung
Betrachtet man die Veröffentlichungen zum Ziegenproblem in den vergangenen Jahrzehnten, so trifft man oft auf folgende "Beeinflußungsstrategien":
- B) Nach der Vorstellung des Ziegenproblems und einigen Erläuterungen folgt noch einmal eine Zusammenfassung der wesentlichen Punkte der Fragestellung. Oft heisst es dann "Ich wiederhole nochmal...", "Wir fassen nochmal zusammen" oder sogar "Hier nochmal die Regeln...". Damit soll offenbar suggeriert werden, dass das Öffnen einer Tür mit einer Ziege durch den Moderator vom Anfang an klar ist. Tatsächlich ist es so, dass wir das Ziegenproblem von außen betrachten und daher dieses Verhalten des Moderators bekannt ist. Die Frage bezieht sich jedoch darauf wie der Kandidat sich verhalten soll, der - laut Fragestellung - nicht vorher weiss wie der Moderator auf seine Tür-Wahl reagiert.
- D) Die Fragestellung wird zusätzlich um Sätze erweitert, die jedoch im Endergebnis trotzdem weiterhin dazu führen, dass die 2/3-Lösung als falsch angesehen werden muss (z. B. Aussage des Moderators vor dem Öffnen der Tür mit der Ziege: "Ich zeige Ihnen mal was..." . Es entsteht hier der Eindruck, dass man die Kritik an der 2/3-Lösung zwar vernommen, aber nicht verstanden hat. Dies ist natürlich für eine sachliche Diskussion nicht förderlich und trägt zur weiteren Verwirrung bei. Insbesondere "Leute vom Fach" sollten es eigentlich nicht nötig haben, derartige "Verfälschungen" vorzunehmen.
- F) Die Fragestellung wird dahingehend geändert, dass der Moderator vorher ankündigt dass er nach der Tür-Wahl des Kandidaten eine der verbleibenden Türen mit einer Ziege öffnet. Allerdings wird in keinster Weise darauf hingewiesen dass nur durch diese geänderte Fragestellung die 2/3-Lösung richtig ist. Vielmehr wird ein großer Bogen gespannt zu dem jahrzehnte-alten Ziegenproblem, es werden beispielsweise die üblichen Leserbriefe zitiert von Leuten die die richtige Lösung immer noch nicht wahrhaben wollen.
- H) Es wird behauptet dass die meisten Zweifler an der 2/3-Lösung inzwischen ihren Fehler eingesehen haben. Oft werden dabei Namen von bekannten Persönlichkeiten, Mathematikern usw. genannt.
Allerdings ist nicht relevant wieviele Personen (inzwischen) für die 2/3-Lösung sind. Ansonsten hätten ja bereits zuvor die meisten Leute recht, die vorher an die 1/2-Lösung geglaubt haben. Und sollte man tatsächlich eine vorher bestandene Mehrheit für die 1/2-Lösung davon überzeugt haben, dass die 2/3-Lösung richtig ist, warum soll es dann nicht möglich sein nun die Mehrheit der Personen, die nun an die 2/3-Lösung glauben von der 1/2-Lösung zu überzeugen. Damit ist klar, dass dies kein tatsächliches Argument für die 2/3-Lösung ist.
Außerdem wird die Behauptung, die meisten Vertreter der 1/2-Lösung inzwischen "bekehrt" zu haben, normalerweise nicht bewiesen. Es wird auch nicht plausibel dargelegt wie man zu diesem Ergebnis kommt. Das Aufführen von Beispielen ist natürlich kein echter Beleg, da nicht bekannt gegeben wird wieviele Vertreter der 1/2-Lösung tatsächlich überzeugt wurden. - J) Es werden jede Menge wissenschaftlicher Analysen gemacht. Computerprogramme werden auf das Ziegenproblem losgelassen. Mathematische Formeln sollen die 2/3-Lösung beweisen. Es werden "unzählige" Test-Verläufe durchgespielt die zur 2/3-Lösung führen. Alle diese sogenannten Beweise bauen jedoch darauf auf, dass das Verhalten des Moderators vor der Tür-Wahl bereits feststeht und dem Kandidaten (oder dem Ziegenproblem-Lösungswilligen) bekannt ist. Es handelt sich also um richtige Beweise für die falsche Frage.
- K) Es werden Varianten des Ziegenproblems (oder eines vergleichbares Problems) mit mehr - bis hin zu 1 Million - Türen aufgeführt...
- L) Das Verhalten des Spielleiters wird thematisiert ohne jedoch die tatsächliche Kritik - das das Verhalten des Spielleiters nicht vorhersehbar und nicht vorher bekannt ist - zu berücksichtigen. Es entsteht daduch der Eindruck, dass eben diese Kritik berücksichtigt wird.
- Es werden mehrere Durchgänge des Spielverlaufs testweise durchgespielt.
Bewertung: Das mehrfache Durchspielen des Spielverlaufs ist zwar zur Lösung des Problems nicht grundsätzlich fehlerhaft. Jedoch ist zu bedenken, dass es im tatsächlichen Verlauf der Show normalerweise nicht dazu kommt dass der Moderator sich mehrmals hintereinander die gleiche Aktion entscheidet. Es entsteht durch das mehrfache Durchspielen der Eindruck, das Öffnen der Tür mit der Ziege würde Bestandteil der Spielregel sein.
Verwendung der Begründungs-Ansätze und -Strategien bei den verschiedenen Medien
| Quelle | Jahr | Monat | Tag; | verwendet: | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
Änderungen an der Fragestellung einzelner Medien
In der nachfolgenden Tabelle werden Änderungen der Fragestellung des Ziegenproblems aufgeführt. Dabei gelten folgende Farb-Codierungen:
- Schwarz: Original von Marilyn vos Savant von 1990.
- Rot: Änderungen mit relevanten Auswirkungen auf die Lösung (führt meistens zu 2/3-Lösung.
- Grün: Änderungen die keine Auswirkungen auf die Lösung haben.
Anmerkungen sind in Klammern geschrieben und nicht Bestandteil der Fragestellung. Bei Varianten des Ziegenproblems (z. B. Spektrum der Wissenschaft) wird hier die Fragestellung für das Ziegenproblem angepasst ohne dass Änderungen vorgenommen wurden, die den Sinn der Fragestellung verändern würden.
| Quelle | Text | : | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Spektrum der Wissenschaft | Hier nochmal die Ausgangssituation und das Verfahren (in Verbindung mit Bekanntgabe das Moderator Tür öffnet) | |||||
| Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren | ||||||
| Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen | ||||||
| Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1 | ||||||
| Spektrum der Wissenschaft | Ich kann dir eine kleine Hilfestellung geben (Andromeda-Version des Ziegenproblems, Moderator zum Kandidaten) | |||||
| der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht | ||||||
| Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ | ||||||
| Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“ | ||||||
Einzel-Beispiele einzelner Medien
Nachfolgend einige Beispiele wie das Ziegenproblem in den Medien dargestellt wurde und wird. Aufgeführt werden Zeitungen, Zeitschriften, Websites sowie Stellungnahmen von Einzelpersonen (z. B. Autoren). Dabei kommt es teilweise zu Überschneidungen - z. B. wenn aufgeführte Autoren sowohl in Eigenpublikationen als auch in Zeitungen oder Zeitschriften das Ziegenproblem erörtern. Die Veröffentlichungen sind innerhalb der Unterrubriken alphabetisch sortiert.
Einzelpersonen (nach Nachnamen sortiert)
Ian Stewart
hat in der Zeitschrift "Spektrum der Wissenschaft" einen Artikel zum Ziegenproblem veröffentlicht (siehe "Sektrum der Wissenschaft").
Marilyn vos Savant
9. September 1990: Marilyn vos Savant beantwortete die folgende Leserfrage:
„Stellen Sie sich vor, Sie müssten als Teilnehmer an einer Gameshow eine von drei Türen auswählen. Hinter einer Tür befindet sich der Gewinn, ein Auto, hinter den beiden anderen befinden sich dagegen Ziegen. Sie wählen Tür Nr. 1, und der Showmaster, der weiß, was sich hinter den jeweiligen Türen befindet, öffnet eine andere Tür, z. B. Tür Nr. 3, hinter der eine Ziege erscheint. Nun fragt er sie, ob sie bei Tür Nr. 1 bleiben oder stattdessen Tür Nr. 2 wählen wollen. Sollte man besser wechseln?“
In Ihrer Antwort stellte vos Savant die 2/3-Lösung als richtige Lösung dargestellt. Daraufhin erhielt ca. 10.000 Briefe von Lesern die mehrheitlich die 1/2-Lösung für richtig hielten.
2. Dezember 1990: Vos Savant veröffentlichte daraufhin eine zweite Kolumne zum Ziegenproblem in der Sie die 6 Möglichkeiten bezüglich der Entscheidung des Türwechsels (ja oder nein) in tabellarischer Form wiedergab:
| Tür 1 | Tür 2 | Tür 3 | Ergebnis | |
|---|---|---|---|---|
| Runde 1 | Auto | Ziege | Ziege | Man wechselt und verliert. |
| Runde 2 | Ziege | Auto | Ziege | Man wechselt und gewinnt. |
| Runde 3 | Ziege | Ziege | Auto | Man wechselt und gewinnt. |
| Runde 4 | Auto | Ziege | Ziege | Man wechselt nicht und gewinnt. |
| Runde 5 | Ziege | Auto | Ziege | Man wechselt nicht und verliert. |
| Runde 6 | Ziege | Ziege | Auto | Man wechselt nicht und verliert. |
Die Argumentation ging dahin, dass man bei 4 der 6 Fälle bei einem Wechsel gewinnt - die 2/3-Lösung also richtig ist.
17. Februar 1991: In einer 3. Kolumne wies vos Savant darauf hin, dass "die Tatsache, dass der Showmaster stets absichtlich eine Tür mit einer Ziege öffnet, der wichtigste Punkt sei" und brachte ein weiteres Beispiel (mit einem UFO und einer kleinen grünen Frau - zu lesen bei Wikipedia) dass Ihre 2/3-Lösung veranschaulichen sollte.
Dies bedeutet eigentlich ein Eingeständnis, dass Ihre zuvor propagierte 2/3-Lösung falsch ist, denn dass der Showmaster stets(!) absichtlich eine Tür mit einer Ziege öffnet ist weder der ursprünglichen Fragestellung zu entnehmen nocht gibt es irgendeinen Grund davon auszugehen.
Interessanterweise ist in dieser Kolumne auch davon die Rede dass "sie im Gegensatz zum Kandidaten keinerlei Hilfe seitens des Showmasters erhalten hat". Hier entsteht der Eindruck, dass es sich beim Öffnen Tür durch den Moderator der Wahl der Tür zwangsweise um eine Hilfe des Kandidaten
7. Juli 1991: In ihrer letzten Kolumne über das Ziegenproblem berichtete vos Savant, dass viele Leser nun von ihrer ursprünglichen Aussage überzeugt seien.
6. August 2016: Auf Marilyn vos Savant's Website ist nach wie vor die Originalfragestellung von 1990 zu lesen und es wird weiterhin die 2/3-Lösung als richtig dargestellt. Originalzitat: "We've received thousands of letters, and of the people who performed the experiment by hand as described, the results are close to unanimous: you win twice as often when you change doors. Nearly 100% of those readers now believe it pays to switch.".
Stefan Götz
In der Zeitschrift "Stochastik in der Schule" (SiS) hat Stefan Götz 2006 den Artikel "Ziegen, Autos und Bayes - eine never ending story" geschrieben. Die Zeitschrift wird vom "Vereins zur Förderung des schulischen Stochastikunterrichts" herausgegeben. Der Text beschäftigt sich auf 6 Seiten ausführlich mit dem Ziegenproblem.
Die Fragestellung des Ziegenproblems wird in dem Artikel an einigen Stellen abgeändert. Die gravierendste Änderung ist das Verkleiden der ursprünglichen Frage in eine Spielregel: "In einer Fernsehshow wird einer Kandidatin von einem Spielleiter folgendes Spiel angeboten: ". Interessant dabei ist das nicht klar ist, was von der nachfolgend gestellten Frage nun zu dem angebotenen Spiel gehört. Der erste Satz lautet: "Hinter drei verschlossenen Türen befinden sich ein Auto und zwei Ziegen". Da das Spiel damit noch nicht vollständig erklärt ist muss auf jeden Fall noch der 2. Satz dazugehören: "Die Kandidatin kann nun auf eine Tür tippen, von der sie vermutet, dass sich hinter ihr das Auto befindet". Als 3. Satz folgt: "Nun öffnet der Spielleiter eine andere Tür, hinter der sich eine Ziege aufhält". Gehört dieser 3. Satz und die nachfolgenden nun ebenfalls zum angebotenen Spiel - also quasi zur Spielregel. Man weiss es nicht (oder soll es nicht wissen?).
Rechnet man das Öffnen der Ziegentür durch den Moderator sowie die angebotene Möglichkeit zum Türwechsel zur Spielregel dazu stimmt zwar die vom Autor vertretene 2/3-Lösung - jedoch handelt es sich dann nicht mehr um die ursprüngliche Fragestellung für die die 1/2-Lösung richtig ist. Gehören nur die ersten beiden Sätze zur Spielregel stimmt die im Artikel behauaptete 2/3-Lösung nicht.
Jeglicher Hinweis auf die relevante Änderung der Fragestellung fehlt in dem Artikel. Vielmehr ist von "dem Ziegenproblem" die Rede, man muss also davon ausgehen dass (eigentlich) die bekannte von Marilyn vos Savant veröffentlichte Denksportaufgabe gemeint ist.
In dem Artikel wird mit Hilfe mathematischer Formeln die angebliche Richtigkeit der 2/3-Lösung beschrieben. Weiterhin werden verschiedene Variationen mit unterschiedlichen Variationen durchgespielt. Die Kritik an der 2/3-Lösung wird nicht thematisiert, was bei der veränderten Fragestellung in dem Artikel auch nur schwer möglich ist.
Interessant ist dass wiederholt das Verhalten des Spielleiters thematisiert wird. Bekannterweise ist das nicht vorhersehbare Verhalten des Spielleiters ausschlaggebend für die Kritik an der 2/3-Lösung. Gemeint ist damit natürlich das nicht feststeht aus welcher Motivation heraus der Spielleiter das Angebot mit dem Türwechsel macht und vor allem nicht vorher bekannt ist ob er überhaupt eine Ziegentür öffnet bzw. was er nach der Wahl der Tür macht. Durch das vielfach zitierte Berücksichtigen des Verhaltens des Spielleiters in dem Artikel von Stefan Götz kann der Eindruck entstehen, das genau diese Kritik in dem Artikel berücksichtigt wird. Dies ist jedoch nicht der Fall, es geht in dem Artikel lediglich darum welche Tür der Spielleiter öffnet.
Kritik nicht vertreten
Zeitschriften
Spektrum der Wissenschaft
Ausgabe Highlights 2/15 (vermutlich identisch mit Ausgabe Spektrum Spezial Physik Mathematik Technik 2/2012, Mathematische Spiele und Strategien), Seite 6, "Das Ziegenproblem oder das Versteck der Andromeda", von Ian Stewart..
In dieser Ausgabe wurde das Ziegenproblem etwas anders dargestellt: Persus soll Andromeda befreien die sich in einer von drei durch ein Tor verschlossene Höhlen befindet. Hinter den anderen befindet sich jeweils ein gefährlicher Gorgo. Im Heft wird aber ein direkter Bezug zum Ziegenproblem hergestellt.
In der Fragestellung wird jedoch - im Gegensatz zum Ziegenproblem darauf verwiesen, dass Pegasau (der Moderator beim Ziegenproblem) ihm nach der Wahl der Höhle eine Hilfe anbietet. Dies deckt sich nicht mir der Spielshow, wo der Moderator nicht zwangsweise dem Kandidaten hilft sondern eventuell auch schadet - das macht ja gerade den Reiz der Show aus. Abgesehen davon wird bei der Spielshow auch keine Aussage gemacht, ob eine Hilfe gegeben wird - insbesondere wird dies nicht vorher angekündigt.
Ob von Beginn an feststeht dass Pegasau eine Höhle mit einem Gorgo öffnet geht nicht direkt aus der präsentierten Geschichte hervor. Pegasau weisst jedoch nach dem Öffnen der Gorgo-Höhle darauf hin, dass sich nun bei einem Wechsel der Höhle die Chance von 1/3 auf 2/3 erhöht, Andromeda zu finden.
Anschließend bietet der Autor eine Wette an dass seine 2/3-Lösung die richtige ist. Es folgt dann für die Wette nochmal eine Zusammenfassung der Ausgangssituation und des Verfahrens bei der die Spielregel schrittweise nochmal zusammengefasst wird. Dazu wird eine Aufzählungsliste benutzt:
- Andromeda sitzt bestimmt in einer der drei Höhlen gefangen...
- Zuerst wählt Persus eine Höhle
- ... Pegasus zeigt Höhle mit Gorgo
- Danach erhält Perseus die Gelegenheit, seine ursprüngliche Wahl zu revidieren. Er bleibt aber bei seiner Entscheidung, und ich wette drei gegen zwei, dass ...
Dabei wird nun anch der Hinweis auf die Tür mit dem Gorgo - im Gegensatz zum Original-Ziegenproblem - mit in die Regel einbezogen, so dass dieses Verhalten (des Moderators beim Ziegenproblem) vorher bekannt ist. Die Fragestellung wurde hier also geändert ohne jeglichen Hinweis auf diese Änderung. Anschließend die üblichen Beweise für die 2/3-Lösung, die jedoch nur für diese geänderte Fragestellung richtig ist. Unter anderem wird das Szenario 20mal mit zufälligen Werten durchgespielt, wobei beim Wechsel 14mal gewonnen wird, wechselt man nicht jedoch nur 6 mal. Auch der Computerbeweis wird herangezogen bei dem sich in 66.502 Fällen von 100.000 Versuchen der Wechsel der Höhle (Tür) als vorteilhaft herausstellt.
Anschließend folgt der nahtlose Übergang von Andromeda zum Ziegenproblem ("... eine Variante unserer Perseus-Geschichte..."). Es wird die Geschichte der Veröffentlichung des Ziegenproblems von Marilyn von Savant in Ihrer Kolumne "Ask Marilyn" sowie die Reaktionen darauf erzählt. Dort wird auch nochmal die Fragestellung der Kolumne wiedergegeben - diesmal aber so wie es auch damals veröffentlicht wurde, nämlich ohne jeglichen Hinweis, dass bereits vor der Wahl der Tür durch den Kandidaten bekannt ist, dass der Moderator anschließend eine Tür mit einer Ziege öffnet und dem Kandidaten einen Wechsel der gewählten Tür anbietet. Noch einmal wird ein eindeutiger Zusammenhang zwischen dem Andromeda- und dem Ziegenproblem hergestellt: "... Marilyn, die im Guinness-Buch der Rekorde als Person mit dem höchsten jemals emessenen Intelligenzquotienten eingetragen ist, erklärte genau wie Perseus' pfundige Pegasau, dass die Chance, das Auto zu bekommen, doppelt so hoch seien, wenn man sich umentscheide".
Auch das bekannte Argument von Marilyn vos Savant mit dem Beispiel mit 1 Million Türen ("...daraufhin öffnet der Quizmaster der Reihe nach 999.998 andere ... Sie beobachten, dass er dabei ... die Nummer 777.777 übergeht.") wird aufgeführt.
Das Springen zwischen Ziegenproblem und Andromeda wird auch danach noch durchgeführt. So wird noch darauf hingewiesen, dass "Pegasus Entscheidung, welche Höhle sie herausgreift, davon abhängt, welche Höhle Perseus vorher gewählt hat". Dies ist richtig für die Spielregeln (siehe Aufzählungsliste oben) beim Andromeda-Problem, jedoch nicht für das Ziegenproblem. Dort gibt es keine Regel die festlegt, dass der Moderator eine Tür mit der Ziege öffnet.
Am Schluss des Artikels wird noch auf die Ursprünge des Ziegenproblems eingegangen. Ob sich die hier genannten ähnlichen Probleme tatsächlich mit dem Ziegenproblem vergleichen lassen dürfte wohl sehr star von der dort verwendeten Fragestellung abhängen. Einen Tipp hat Ian Stewart auch noch für die Zweifler der 2/3-Lösung: "Aber bitte schreiben Sie nicht und machen Sie, nachdem klar ist, dass Sie ohnehin verlieren werden, auch keinen Einsatz...".